二次函数y=9x^2/5+x/11+1的性质归纳解析
本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/11+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质,并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。
方法/步骤
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函数的定义域与值域:
1)定义域:函数为二次函数,由函数特征知函数的定义域为全体实数,即定义域为:(-∞,+∞)。
2)值域:该二次函数开口向上,函数有最小值,在顶点处达到,所以值域为:[4351/4356,+∞)。

函数的对称轴与单调性:
因为函数y=9x2/5+x/11+1,其对称轴为:
x0=-5/198,函数开口向上,所以函数的单调性为:
在区间(-∞,-5/198]上,函数为单调减函数;
在区间(-5/198 ,+∞)上,函数为单调增函数。

函数一阶导数及其应用
求函数的一阶导导数,并求函数在点A(-1,149/55),B(-1/2,309/220),C(1/2,329/220),D(1,159/55),E(-5/198,4351/4356)处的切线方程。
解:∵y=9x2/5+x/11+1,
∴y'=18x/5+x/11.
(1)在点A(-1,149/55)处,切线的斜率k为:
k=-193/55,此时由直线的点斜式方程得切线方程为:
y-149/55=-193/55(x+1)。

(2)在点B(-1/2,309/220)处,切线的斜率k为:
k=-94/55,此时由直线的点斜式方程得切线方程为:
y-309/220=-94/55(x+1/2)。
(3)在点C(1/2, 329/220)处,切线的斜率k为:
k=104/55,此时由直线的点斜式方程得切线方程为:
y-329/220=104/55(x-1/2)。

(4)在点D(1, 159/55)处,切线的斜率k为:
k=203/55,此时由直线的点斜式方程得切线方程为:
y-159/55=203/55(x-1)。
(5)在点D(-5/198,4351/4356)处,因为该点是二次函数抛物线的顶点,所以其切线是一条平行于x轴的直线,并过点D,则此时的切线方程为:y=4351/4356。

函数的凸凹性:
通过初高中知识我们知道,二次函数开口向上时,函数图像为凹函数。在这里,我们用导数的知识判断函数的凸凹性。
∵y'=18x/5+x/11,
∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数,则函数在整个定义域上为凹函数。

编辑于2025-07-10,内容仅供参考并受版权保护
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发布媒体:头条经验 作者:吉禄学阁