二次函数y=9x^2/5+x/3+1的性质归纳详解

来自知乎https://www.zhihu.com/的优秀用户吉禄学阁，于2025-07-10在生活百科知识平台总结分享了一篇关于“二次函数y=9x^2/5+x/3+1的性质归纳详解黄晓明”的经验，非常感谢吉禄学阁的辛苦付出，他总结的解决技巧方法及常用办法如下：

本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/3+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

方法/步骤

1/7分步阅读

介绍二次函数y=9x^2/5+x/3+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

[图]2/7

函数的定义域与值域：

1）定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2）值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[319/324，+∞）。

[图]3/7

函数的对称轴与单调性：

因为函数y=9x2/5+x/3+1，其对称轴为：

x0=-5/54,函数开口向上，所以函数的单调性为：

在区间（-∞，-5/54]上，函数为单调减函数；

在区间(-5/54 ,+∞）上，函数为单调增函数。

[图]4/7

函数一阶导数及其应用

求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,37/15),B(-1/2,77/60),C(1/2,97/60),D(1,47/15),E(-5/54,319/324)处的切线方程。

解：∵y=9x2/5+x/3+1，

∴y'=18x/5+x/3.

(1)在点A(-1,37/15)处，切线的斜率k为：

k=-49/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-37/15=-49/15(x+1)。

[图]5/7

(2)在点B(-1/2,77/60)处，切线的斜率k为：

k=-22/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-77/60=-22/15(x+1/2)。

(3)在点C(1/2, 97/60)处，切线的斜率k为：

k=32/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-97/60=32/15(x-1/2)。

[图]6/7

(4)在点D(1, 47/15)处，切线的斜率k为：

k=59/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-47/15=59/15(x-1)。

(5)在点D(-5/54,319/324)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=319/324。

[图]7/7

函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y'=18x/5+x/3,

∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

[图]

编辑于2025-07-10，内容仅供参考并受版权保护