二次函数y=9x^2/5+x/10+1的性质归纳

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本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/10+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

方法/步骤

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介绍二次函数y=9x^2/5+x/10+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

[图]2/7

函数的定义域与值域：

1）定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2）值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[719/720，+∞）。

[图]3/7

函数的对称轴与单调性：

因为函数y=9x2/5+x/10+1，其对称轴为：

x0=-1/36,函数开口向上，所以函数的单调性为：

在区间（-∞，-1/36]上，函数为单调减函数；

在区间(-1/36 ,+∞）上，函数为单调增函数。

[图]4/7

函数一阶导数及其应用

求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,27/10),B(-1/2,7/5),C(1/2,3/2),D(1,29/10),E(-1/36,719/720)处的切线方程。

[图]5/7

解：∵y=9x2/5+x/10+1，

∴y'=18x/5+x/10.

(1)在点A(-1,27/10)处，切线的斜率k为：

k=-7/2,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-27/10=-7/2(x+1)。

(2)在点B(-1/2,7/5)处，切线的斜率k为：

k=-17/10,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-7/5=-17/10(x+1/2)。

[图]6/7

(3)在点C(1/2, 3/2)处，切线的斜率k为：

k=19/10,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-3/2=19/10(x-1/2)。

(4)在点D(1, 29/10)处，切线的斜率k为：

k=37/10,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-29/10=37/10(x-1)。

[图]7/7

(5)在点D(-1/36,719/720)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=719/720。

函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y'=18x/5+x/10,

∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

[图]

编辑于2025-07-10，内容仅供参考并受版权保护