计算ab在条件a+39b=9时最大值的主要过程和步骤

来自中国知网https://www.cnki.net/的优秀用户吉禄学阁，于2025-06-01在生活百科知识平台总结分享了一篇关于“计算ab在条件a+39b=9时最大值的主要过程和步骤邓紫棋”的经验，非常感谢吉禄学阁的辛苦付出，他总结的解决技巧方法及常用办法如下：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

1/2分步阅读

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

[图]2/2

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(3/13-1/39*a)

=-1/39*a^2+3/13*a

=-1/39(a-9/2)^2+27/52，

则当a=9/2时，ab有最大值为27/52。

[图]

思路二：判别式法

1/1

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+39b=9,

a+39p/a=9,

a^2-9a+39p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-156p≥0,即：

p≤27/52,

此时得ab=p的最大值=27/52。

[图]

思路三：三角换元法

1/1

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+39b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，39b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=3/13(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*3/13(sint)^2,

=27/52*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=27/52。

[图]

思路四：中值代换法

1/1

设a=9/2+t,39b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/39)(9/2-t)

此时有：

ab=1/39*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/39*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤27/52,

则ab的最大值为27/52。

[图]

思路五：不等式法

1/1

当a，b均为正数时，则：

∵a+39b≥2√39*ab,

∴(a+39b)^2≥156*ab,

81≥156*ab,

即：ab≤27/52,

则ab的最大值为27/52。

[图]

思路六：数形几何法

1/1

如图，设直线a+39b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

a0+39b0=9,b0=a0tanθ,

a0+39a0tanθ=9，得

a0=9/(1+39tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(1+39tanθ)^2,

=81/[(1/|tanθ|)+78+1521|tanθ|]

≤81/(78+78)=27/52。

则ab的最大值=27/52.

[图]

思路七:构造函数法

1/1

设函数f(a,b)=ab-λ(a+39b-9),

则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-39λ,

f'λ=a+39b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=λ,a=39λ。进一步代入得：

39λ+39λ=9,即λ=3/26.

则有a=9/2,b=3/26.

ab的最大值=9/2*3/26=27/52。

[图]

编辑于2025-06-01，内容仅供参考并受版权保护