七道数学极限练习题及计算过程A6

来自赶集网http://www.ganji.com/的优秀用户吉禄学阁，于2025-04-19在生活百科知识平台总结分享了一篇关于“七道数学极限练习题及计算过程A6琼瑶”的经验，非常感谢吉禄学阁的辛苦付出，他总结的解决技巧方法及常用办法如下：

本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

1.计算lim(n→∞)(5n²-31)/(10n⁴+3n-23)

1/1分步阅读

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(5n²-31)/(10n⁴+3n-23)

=lim(n→∞)(5/n-31/n⁴)/(10+3/n³-23/n⁴),

=0。

[图]

2.计算lim(n→∞)(35n-29n-36)/(25+5n-12n²)

1/1

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(35n²-29n-36)/(25+5n-12n²)

=lim(n→∞)(35-29/n-36/n²)/(25/n+5/n-12),

=(35-0)/(0-12),

=-35/12。

思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)(35n²-29n-36)/(25+5n-12n²)

=lim(n→∞)(70n-29)/(5-24n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(70-0)/(0-24)，

=-35/12。

[图]

3.求极限lim(x→1)(x³-27x+26)/(x⁴-17x+16)

1/1

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-27x+26)/(x⁴-17x+16)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-26)/[(x-1)(x³+x²+x-16)],

=lim(x→1)(x²+x-26)/(x³+x²+x-16),

=(1+1-26)/(1+1+1-16),

=24/13。

[图]

4.求lim(x→0)(12x+25sin3x)/(23x-44sin6x)

1/1

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(12x+25sin3x)/(23x-44sin6x)，

=lim(x→0)(12+25sin3x/x)/(23-44sin6x/x)，

=lim(x→0)(12+75sin3x/3x)/(23-264sin6x/6x)，

=(12+75)/(23-264)，

=-87/241。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(12x+25sin3x)/(23x-44sin6x)，

=lim(x→0)(12+25*3cos3x)/(23-44*6cos6x)，

=(12+25*3)/(23-44*6)，

=-87/241。

[图]

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(15x+52)。

1/1

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(15x+52)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(15x+52)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[15+(52/x)],

=1/{lim(x→∞)[15+(52/x)]},

=1/15。

[图]

6.求lim(x→0)(sin37x-sin67x)/sin15x.

1/1

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin37x-sin67x)/sin15x

=lim(x→0)2cos52xsin(-15x)/sin15x,

=lim(x→0)-2cos52x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin37x-sin67x)/sin15x,

=lim(x→0)(37cos37x-sin67cos67x)/(15cos15x)，

=lim(x→0)(37-67)/15，

=-2。

[图]

7.求lim(x→0)(1+4x)^(13/12x)

1/1

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+4x)^(13/12x),

=lim(x→0){[(1+4x)^(1/4x)]}^(13*4/12),

=e^(13*4/12),

=e^(13/3)。

[图]

编辑于2025-04-19，内容仅供参考并受版权保护