二次函数y=9x^2/5+x/8+1的性质归纳解读

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本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/8+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

方法/步骤

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介绍二次函数y=9x^2/5+x/8+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

[图]2/7

函数的定义域与值域：

1）定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2）值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[2299/2304，+∞）。

[图]3/7

函数的对称轴与单调性：

因为函数y=9x2/5+x/8+1，其对称轴为：

x0=-5/144,函数开口向上，所以函数的单调性为：

在区间（-∞，-5/144]上，函数为单调减函数；

在区间(-5/144 ,+∞）上，函数为单调增函数。

[图]4/7

函数一阶导数及其应用

求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,107/40),B(-1/2,111/80),C(1/2,121/80),D(1,117/40),E(-5/144,2299/2304)处的切线方程。

[图]5/7

解：∵y=9x2/5+x/8+1，

∴y'=18x/5+x/8.

(1)在点A(-1,107/40)处，切线的斜率k为：

k=-139/40,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-107/40=-139/40(x+1)。

(2)在点B(-1/2,111/80)处，切线的斜率k为：

k=-67/40,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-111/80=-67/40(x+1/2)。

[图]6/7

(3)在点C(1/2, 121/80)处，切线的斜率k为：

k=77/40,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-121/80=77/40(x-1/2)。

(4)在点D(1, 117/40)处，切线的斜率k为：

k=149/40,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-117/40=149/40(x-1)。

[图]7/7

(5)在点D(-5/144,2299/2304)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=2299/2304。

函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y'=18x/5+x/8,

∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

[图]

编辑于2025-07-10，内容仅供参考并受版权保护