计算√3123的近似值

来自新浪财经https://finance.sina.com.cn/的优秀用户吉禄学阁，于2025-04-12在生活百科知识平台总结分享了一篇关于“计算√3123的近似值大圣传”的经验，非常感谢吉禄学阁的辛苦付出，他总结的解决技巧方法及常用办法如下：

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式3123的近似值计算方法步骤。

※.线性穿插法计算近似值

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设√3123=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√3025=55,

√3123=x,

√3136=56,用线性穿插得：

(3123-3025)/(3136-3123)=(x-55)/(56-x)

98(56-x)=13(x-55)

111x=6203

x=6203/111≈55.8829.

[图]

※.微分法计算近似值

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∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√3123-√3025=(3123-3025)/(2√3025)

√3123=√3025+98/(2*55)

√3123=55+49/55≈55.8909.

[图]

※.极限法计算近似值

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原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√3123=√(3025+98）

√3123=√[3025(1+98/3025）]

=55√(1+98/3025）

=55*[1+98/(2*3025)]

=55+49/55≈55.8909.

[图]

※.泰勒展开式计算近似值

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∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f"(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f"(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

[图]2/2

对于本题，x=3123，x₀=3025,x-x₀=98,代入得：

√3123

≈√3025+(49/1)*3025^(-1/2)-(1/8)*98²*3025^(-3/2)

≈55+(49/1)*55⁻¹-(1/8)*98²*55⁻³

≈55+49/55-98²/(8*55³)

即：√3123≈55.8837。

[图]

结论拓展分析

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1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

编辑于2025-04-12，内容仅供参考并受版权保护