详细解析二次函数y=9x^2/5+x/4+1的性质归纳

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本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/4+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

方法/步骤

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介绍二次函数y=9x^2/5+x/2+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

[图]2/7

函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y'=18x/5+x/3,

∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

[图]3/7

函数的对称轴与单调性：

因为函数y=9x2/5+x/4+1，其对称轴为：

x0=-5/72,函数开口向上，所以函数的单调性为：

在区间（-∞，-5/72]上，函数为单调减函数；

在区间(-5/72 ,+∞）上，函数为单调增函数。

[图]4/7

函数一阶导数及其应用

求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,51/20),B(-1/2,53/40),C(1/2,63/40),D(1,61/20),E(-5/72,571/576)处的切线方程。

解：∵y=9x2/5+x/4+1，

∴y'=18x/5+x/4.

(1)在点A(-1,51/20)处，切线的斜率k为：

k=-67/20,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-51/20=-67/20(x+1)。

[图]5/7

(2)在点B(-1/2,53/40)处，切线的斜率k为：

k=-31/20,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-53/40=-31/20(x+1/2)。

(3)在点C(1/2, 63/40)处，切线的斜率k为：

k=41/20,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-63/40=41/20(x-1/2)。

[图]6/7

(4)在点D(1, 61/20)处，切线的斜率k为：

k=77/20,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

y-61/20=77/20(x-1)。

(5)在点D(-5/72,571/576)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=571/576。

[图]7/7

函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y'=18x/5+x/4,

∴y''=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

[图]

编辑于2025-07-10，内容仅供参考并受版权保护