y=(x^3+4x^2).(x
通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=(x^3+4x^2)/(x-1)^2示意图的主要步骤。
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导数相关知识导数与单调性、凸凹性关系函数图像有关知识主要方法与步骤
1/8分步阅读※.函数的定义域
∵x-1≠0，
∴x≠1，即函数的定义域为：
(-∞,1)∪(1,+∞）
[图]2/8∵y=(x^3+4x^2)/(x-1)^2
∴dy/dx
=[(3x^2+8x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+4x^2)]/(x-1)^4
=[(3x^2+8x)(x-1)-2(x^3+4x^2)]/(x-1)^3
=x[(3x+8)(x-1)-2(x^2+4x)]/(x-1)^3
=x(x^2-3x-8)/(x-1)^3
[图]3/8令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-8=0.
当x^2-3x-8=0时，有：
x2=(3-√41)/2，x3=(3+√41)/2.
(1).当x∈((3-√41)/2,0), (1,(3+√41)/2]时，
dy/dx＜0，此时函数y为减函数；
(2).当x∈(-∞，(3-√41)/2],[0,1),((3+√41)/2，+∞)时，
dy/dx＞0，此时函数y为增函数。
[图]4/8函数的凸凹性
∵dy/dx=(x^3-3x^2-8x)/(x-1)^3
∴d^2y/dx^2
=[(3x^2-6x-8)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-8x)(x-1)^2]/(x-1)^6
=[(3x^2-6x-8)(x-1)-3(x^3-3x^2-8x)]/(x-1)^4
=(22x+8)/(x-1)^4
=2(11x+4)/(x-1)^4
[图]5/8令d^2y/dx^2=0,则：
则: 11x+4=0，即x=-4/11.
(1).当x∈(-∞，-4/11)时，d^2y/dx^2＜0，
此时函数y为凸函数；
(2).当x∈(-4/11,1)∪(1，+∞)时，
d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。
[图]6/8函数五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。
x
-5.7
-4.7
-3.7
-2.7
-1.70
y
-1.23
-0.47
0.185
0.692
0.911
[图]7/8函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。
x
-1.70
-1.03
-0.36
-0.18
0
y
0.911
0.764
0.255
0.088
0
[图]8/8综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：
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发布媒体：头条经验 作者：吉禄学阁
